Добро пожаловать, Гость
  • Страница:
  • 1

ТЕМА: Теория покера

Теория покера 27.01.2012 16:02 #28

  • poker
  • Вне сайта
  • Администратор
  • Постов: 165
  • Репутация: 3
В этой теме делимся статьями, материалами по теории о покере. Обсуждения и вопросы по теории покера.

С материалами по стратегии СНГ , можно ознакомиться здесь

С Материалами по стратегии Холдем NL , можно ознакомиться здесь

С другими материалами по теории покера , можно ознакомиться здесь

Теория покера 27.01.2012 16:15 #10525

  • Scorpionn
  • Вне сайта
  • Опытный
  • Постов: 490
  • Репутация: 3
Для освоения покерной математики достаточно знания четырех математических действий: сложения, вычитания, умножения и деления. Поэтому если вы проходили курс 5 класса средней школы, математика покера вам вполне по силам. И не пожалейте того не слишком большого времени, которое нужно для ее освоения. Это ваши деньги, ваша прибавка к винрейту, порой, весьма существенная. В каждом игровом эпизоде вы принимаете решение, которое можно оценить в деньгах - выигранных или потерянных. Если вы принимаете решение со средним результатом всего +1 цент, то после 100 тысяч рук (столько многие отыгрывают всего за месяц!) это выльется в 1000 долларов вашей прибыли. При этом в каждой руке могут разыгрываться десятки и сотни долларов даже на низких лимитах, казалось бы, один цент здесь ни на что не влияет. Но на дистанции именно это маленькое преимущество определяет выигрываете вы или проигрываете, и сколько именно вы выигрываете. То же касается и решений с отрицательным средним результатом. Это только кажется: "вот сейчас разок рискну не по шансам, а в основном буду играть правильно". На самом деле эти ситуации повторяются - через минуту, час, день, неделю... и все сходные ситуации можно выделить за всю историю вашей игры, и их результат будет близок к той самой средней оценке, умноженной на число таких ситуаций. Если вы "разок рискнули" вопреки математике покера, то считайте, что проиграли эти центы или доллары, независимо от результата данной конкретной руки - даже если в ней повезло. И, опять же, каждый минус 1 цент в принятых решениях выльется за 100 тысяч рук в 1000 долларов потерянного банкролла.

Поэтому математика покера для успешного игрока - вещь совершенно необходимая, и к данному разделу нужно отнестись со всем вниманием.

Применение математики покера можно разделить на две части.

Первая - те расчеты, которые нужно делать по ходу игры. Это определение своих аутов, вычисление шансов банка для принятия решения в игре и т.п. Времени в этих условиях у нас минимум, поэтому нужно научиться делать такие расчеты быстро (а со временем вы будете делать их автоматически за долю секунды). Эта часть математики покера проста, но работает очень эффективно.

Теория покера 27.01.2012 16:21 #10526

  • Scorpionn
  • Вне сайта
  • Опытный
  • Постов: 490
  • Репутация: 3
Математический аспект
Покер – дисперсная игра. Я бы даже сказал, очень дисперсная. Иногда видишь радостные рассказы и даже скриншоты, где игрок сидит за столом с 7-8 байинами, но тот же самый игрок вскоре может пожаловаться, что подряд слил 3-4, а то и 5-6 байинов (речь о безлимитном холдеме или пот-лимитной Омахе). Та же проблема, хотя и в несколько меньшем масштабе, характерна и для лимитного покера, и для СнГ турниров, не говоря уж о МТТ турнирах. Но давайте обратимся собственно к математике.

С появлением Покер Трекера ринговый игрок не испытывает проблем с точным определением статистических параметров своей игры. Математическое ожидание (МО, в формулах обозначается как m) результата игры оценивает винрейт (в основной таблице закладки General Info смотрим столбец BB/100 hands). Дисперсию удобнее рассматривать через показатель среднеквадратичного отклонения (СКО, в формулах обозначается как σ), которое находится как квадратный корень из дисперсии (на закладке Session Notes жмем кнопку More Details… и берем Standard Deviation/100 Hands, выраженный в больших ставках).

Что нам дает знание наших МО и СКО? С их помощью можно оценить с нужной степенью вероятности возможные границы колебаний результатов игры. Для этого нам понадобится вспомнить несколько формул, относящихся к нормальному закону распределения. Но сначала несколько комментариев.

Во-первых, собственно результаты покерных игр вряд ли распределены по нормальному закону. Но мы-то используем показатели на 100 рук – и как следует из предельной теоремы, среднее арифметическое случайных величин с любым распределением будет стремиться к нормальному.

Во-вторых, пользоваться расчетными данными МО и СКО можно только при большом количестве сдач. Дело в том, что формулы нормального распределения можно использовать лишь при точно известных m и σ, а когда они находятся расчетным путем, то правильнее использовать функцию распределения Стьюдента. Но при увеличении количества опытов (в нашем случае – сыгранных игр) распределение Стьюдента опять же приближается к нормальному. При более чем 10.000 сдач разницы уже практически нет, а, например, при 1.000 сдач распределение Стьюдента будет «шире» (то есть дисперснее) на 23%.

В-третьих, для анализа рекомендуется использовать результаты, полученные на одном лимите, на одной длине стола и даже в одном руме. Дело в том, что с ростом по лимитам обычно винрейт падает, а дисперсия может как падать, так и увеличиваться. Короткие столы обычно более дисперсионны, а в разных румах сила противников может серьезно различаться – что, опять же, отразится на параметрах. Поэтому, перед тем как объединять для анализа сдачи из разных мест, убедитесь, что отдельные МО и СКО близки. Если это не так, то вы получите в результате «среднюю температуру по больнице».

В-четвертых, все наши вычисления мы делаем по формулам теории вероятности и математической статистики, соответственно, все полученные результаты – не истина в последней инстанции, а лишь в большей или меньшей степени вероятны. Эту самую степень вероятности мы должны задать сами. Понятно, что чем дальше мы уходим в любую сторону от матожидания, тем менее вероятны будут результаты, и это можно учесть посредством коэффициента, связывающего отклонение и вероятность события. Возможно, вы слышали о «правиле трех сигм» – вероятность того, что результаты выйдут за границу 3*σ, настолько мала, что ей можно пренебречь. Если быть более точными, то в границах трех сигм лежат 99,73% возможных результатов. Если вы хотите быть более уверенными в результатах – следует увеличивать коэффициент, если же 100% уверенность не нужна, то его можно уменьшить.

Найти соответствие между диапазоном вероятностей и коэффициентом можно либо по таблицам Лапласа, либо про помощи функции Excel (далее формулы сразу же будут писаться в нотации Excel):

требуемый коэффициент = НОРМСТОБР(вероятность/2+0,5)

Например, чтобы определить диапазон наших результатов с вероятностью 90%, поставляем в формулу следущие значения:

НОРМСТОБР(0,9/2+0,5) = 1,645

А если хотим быть уверены на 99,9% (отбрасываем лишь 1 шанс из 1000), то получаем величину коэффициента:

НОРМСТОБР(0,999/2+0,5) = 3,29

Найденные таким образом коэффициенты (обозначим их для удобства k) мы будем использовать в дальнейшем.

Ну а теперь, собственно, о том, что и как мы можем посчитать (данные ниже расчеты сделаны в больших ставках, не забудьте домножить на величину большой ставки, чтобы получить результаты в деньгах).

1. Диапазон, в котором могут лежать денежные результаты вашей игры.
Исходя из формулы нормального закона распределения, получаем, что за N сдач мы ожидаем в среднем выиграть:

средний выигрыш = N/100*m

при этом колебания от ожидания могут составить:

±k*σ*КОРЕНЬ(N/100)

Как вы видите, число сдач нам приходится делить на 100, так как и МО и СКО посчитаны на сто сдач. Результаты этих подсчетов можно интерпретировать следующим образом: вы ожидаете в среднем выиграть одну сумму, но дисперсия может значительно увеличить или уменьшить ваш выигрыш.

2. Диапазон возможных матожиданий.
Полученные в пункте 1 результаты по возможным колебаниям результатов можно рассматривать и другим образом – возможно, в настоящий момент вы находитесь не в центре распределения – благодаря удаче или неудаче, ваши практические результаты отличаются от реального матожидания (того, которое будет на большей дистанции). То есть ваше МО не то, что посчитал Трекер, а больше или меньше. Вы можете посчитать диапазон ваших возможных МО, поделив результаты пункта 1 на N/100. Его границы, если провести сокращения с N/100, будут равны:

нижняя граница = m-k*σ/КОРЕНЬ(N)*10
верхняя граница = m+k*σ/КОРЕНЬ(N)*10

3. Максимальная сумма проигрыша.
В принципе, в пункте 1 дана функция, по которой можно определить максимально возможный проигрыш. МО и СКО у нас зафиксированы, а вот количество сдач меняется. Соответственно, мы получаем функцию от N:

F(N) = N/100*m-k*σ*КОРЕНЬ(N/100)

Можете найти минимум функции графически, а можно рассчитать его - для чего находим производную и приравниваем её к нулю. В результате получим, что максимальный проигрыш у нас будет при:

N = СТЕПЕНЬ(k*σ/2/m,2)*100

подставив полученное N в формулу нашей функции, получим уже собственно саму величину проигрыша. Соответственно, если игрок не желает обанкротится, он должен иметь на счету сумму не меньше получившейся при расчете.

Давайте немного попрактикуемся, сделаем несколько расчетов. Возьмем цифры, которые на практике встречаются у плюсовых игроков в покер и посмотрим, какие у них возможны колебания. Итак, неплохой игрок в лимитный холдем способен иметь МО порядка +2 ВВ/100 на средних лимитах (возьмем для примера невысокие $1/$2), при этом СКО на длинном столе составит порядка 15. В безлимитных и пот-лимитных играх МО плюсового игрока выше, скажем, +8 ВВ/100 (часто также говорят о PTBB – Poker Tracker Big Bet, который равен двум большим блайндам, ведь в безлимите нет больших ставок, как таковых), но и дисперсия не отстает – на столах NL$50 она уже 45. Разброс МО и СКО между игроками в безлимите гораздо больше, чем в лимите, и может отличаться в разы.

Рассмотрим дистанцию в 20.000 сдач. Нас будут интересовать результаты с вероятностью 99%, в этом случае величина соответвующего коэффициента получается равной:

k = НОРМСТОБР(0,99/2+0,5) = 2,576

Для лимита ожидаемый выигрыш будет равен:

ожидаемый выигрыш = 2*$2*20000/100 = $800

при этом возможные границы колебаний составят:

нижняя граница = $800-2,576*15*КОРЕНЬ(20000/100)*$2 = -$293
верхняя граница = $800+2,576*15*КОРЕНЬ(20000/100)*$2 = $1893

Для безлимитного игрока (при блайнде в $0,5 PTBB = $1, для сокращения записи умножение на $1 опускаем):

ожидаемый выигрыш = 8*$1*20000/100 = $1600
нижняя граница = $1600-2,576*45*КОРЕНЬ(20000/100) = -$39
верхняя граница = $1600+2,576*45*КОРЕНЬ(20000/100) = $3239

Как видим, за счет более высокого МО игрок безлимита имеет лучшие показатели, тем не менее, у обоих игроков даже после 20000 рук возможны отрицательные результаты, хотя вероятность их и не очень велика.

Соответственно, если у игрока нет другого опыта, кроме этих 20.000 сдач, мы можем предположить, что его МО с вероятностью 1% может быть ниже -0,73 (=-$293/200/$2) или выше 4,73 (=$1893/200/$2) для лимита и выходить за пределы диапазона -0,2…16,2 для безлимита. Длина максимального проигрышного стрика (англ. streak – полоса) для лимитного игрока может составить до:

СТЕПЕНЬ(2,576*15/2/2,2)*100 = 9332 сдач

при этом денежный проигрыш может составить до:

2*$2*9332/100-2,576*15*КОРЕНЬ(9332/100)*$2 = -$373

Те же величины для безлимитного игрока получаются равными:

отрицательный стрик = СТЕПЕНЬ(2,576*45/2/8,2)*100 = 5249 сдач
общий проигрыш = 2*5249/100-2,576*45*КОРЕНЬ(5249/100) = -$420

Как видите, несмотря на лучшие показатели на большой дистанции, безлимитный игрок сильнее рискует на дистанции короткой. Из этих расчетов следует, что нашему лимитному игроку стоит иметь банкрол порядка 200 больших ставок, а безлимитному – около 9 байинов, чтобы избежать банкротства.


Желающие могут на досуге посчитать свои результаты, а также результаты игрока СнГ турниров. В среднем у турнирного игрока РОИ может быть порядка 15% (это МО турнирного игрока), при этом дисперсия составит около 1,7. Только учтите, что сдачи тут уже не при чем, и расчет ведется на общее количество турниров с умножением на величину байина. На рисунке показаны графики распределения вероятности результатов наших лимитного и безлимитного игроков (на 100 сдач, по оси Х показан возможный выигрыш/проигрыш) и СнГ игрока (на 100 турниров).

Думаю , вы поняли, что за зверь дисперсия, и насколько она велика в покере, если даже после 20.000 сдач нельзя с уверенностью сказать, в плюс ли играет игрок. Надеюсь, понимание математики дисперсии позволит вам легче переносить превратности игры.
  • Страница:
  • 1
Время создания страницы: 0.81 секунд
Rambler's Top100